椭圆的焦点坐标公式

椭圆焦点坐标公式整理
椭圆方程:x^2/a^2+y^2/b^2=1;(a>b>0)
所以c^du2=a^2-b^2;故焦点是,(c,0),(-c,0);
如果不是一般的，也要化成标准形:
(x-d)^2/a^2+(y-f)^2/b^2=1;(a>b>0);
同样c^2=a^2-b^2;
所以在原点时(c,0),(-c,0);
但是该
方程是由原点标准时，沿(d,f)平移的，
所以焦点是
(c+d,f),(-c+d,f);
y轴上类似
椭圆焦点三角形面积公式
椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1，F2与椭圆上任意一点P（不与焦点共线）为顶点组成的三角形。椭圆的焦点三角形性质为：
【椭圆的焦点坐标公式】（1）|PF1|+|PF2|=2a
（2）4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cosθ
（3）周长=2a+2c
（4）面积=S=b2·tan(θ/2)（∠F1PF2=θ）
证明
设P为椭圆上的任意一点P（不与焦点共线），
∠F2F1P=α ，∠F1F2P=β，∠F1PF2=θ，
则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)，
焦点三角形面积S=b2·tan(θ/2) 。

文章插图
扩展
椭圆的焦点三角形性质为
（1）|PF1|+|PF2|=2a
（2）4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cosθ
（3）周长=2a+2c
（4）面积=S=b2·tan(θ/2)（∠F1PF2=θ）
证明
设P为椭圆上的任意一点P（不与焦点共线），
∠F2F1P=α ，∠F1F2P=β，∠F1PF2=θ，
则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)，
焦点三角形面积S=b2·tan(θ/2) 。
圆的通径就是过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段长度，所以把椭圆方程中的x代成c，就可得：就可得y1=b2/a，y2=-b^/a，所以通径的长度就是y1-y2=2b2/a，其中b2表示b的平方。
推导过程
证明
设椭圆x2/a2+y2/b2=1,焦点(c,0),(-c,0),且c2=a2-b2
令x=c或-c,c2/a2+y2/b2=1
∴y2/b2=1-c2/a2=1-(a2-b2)/a2=b2/a2
∴y2=b2×b2/a2,y=b2/a或-b2/a
即通径两端点为(c,b2/a)(c,-b2/a),或者(-c,b2/a)(-c,-b2/a)
∴通径长=b2/a-(-b2/a)=2b2/a
椭圆通径长定理
椭圆的常见问题以及解法
椭圆通径长定理，指的是椭圆的通径AB就是过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段AB 。可以由勾股定理推导。椭圆中的通径是通过焦点最短的弦。
例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用第一定义）：
将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，
那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。
设两点为F1、F2
对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2
由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点
用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆。