文章插图
等价矩阵的充要条件为:同型矩阵且秩相等 。
矩阵等价的充要条件为:同型矩阵且秩相等 。相似必定等价,等价不一定相似 。两矩阵等价,秩相等,列向量,行向量极大线性无关组数相等 。若存在可逆矩阵P、Q,使PAQ=B,则A与B等价 。所谓矩阵A与矩阵B等价,即A经过初等变换可得到B 。
1、等价矩阵的性质 。
矩阵A和A等价(反身性);
矩阵A和B等价,那么B和A也等价(等价性);
矩阵A和B等价,矩阵B和C等价,那么A和C等价(传递性);
矩阵A和B等价,那么IAI=KIBI 。(K为非零常数);
具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解 。
对于相同大小的两个矩形矩阵,它们的等价性也可以通过以下条件来表征:矩阵可以通过基本行和列 *** 作的而彼此变换 。当且仅当它们具有相同的秩时,两个矩阵是等价的 。
2、两个矩阵等价可以推出 。
根据矩阵等价的充要条件,两个矩阵有相同的秩,可知n阶方阵A与单位方阵E等价的充要条件是:A秩=E秩=n 。
也就是说A可以通过有限次初等变换得到E,而|E|=1. 由行列式初等变换的原理,可以知道,必存在一个非零的数k,使得|A|=k|E|不等于0,因此|A|不等于0是A和E等价的充要条件 。
3、由两个矩阵等价推出 。
它们有相同的行数和列数;
【等价矩阵的充要条件】它们的秩相同;
它们与同一标准型矩阵等价;
如果它们是同阶方阵,则它们所对应的行列式同时等于0或同时不等于0;
可以通过有限次初等变换,由其中一个矩阵得到另外一个矩阵 。
等价矩阵的证明:
a1,a2,....an,线性无关,而a1,a2,....an,b,r线性相关,所以有x1a1+x2a2+....xnan+xb+yr=0,若y=0,则x1a1+x2a2+....xnan+xb=0,说明a1,a2,...an,b线性相关,同理x=0,可得a1,a2,....an,r线性相关 。
若x,y都不为零,两边除以x可得-b=x1/x)a1+(x2/x)a2+...+(xn/x)an+(y/x)r,这表示b可以用a1,a2,....an,r.表示 。若除以y可证明r可以用a1,a2,....an,b表示 。这就说明a1,a2,....an,b与a1,a2,....an,r等价.综合可得命题得证 。
当A和B为同型矩阵,且r(A)=r(B)时,A,B一定等价 。
对的 。矩阵等价的定义:若存在可逆矩阵P、Q,使PAQ=B,则A与B等价 。所谓矩阵A与矩阵B等价,即A经过初等变换可得到B 。充分性:经过初等变换,秩是不改变的,即R(A)=R(PAQ)=R(B) 。必要性:设R(A)=R(B)=m,则A经过初等变换一定能化成最简型矩阵,这个最简型矩阵记作C 。C的秩为m 。同样,B矩阵经过初等变换能化成一个最简型矩阵,因为B的秩是m,所以B化成的最简型也是C 。也就是说,A与C等价,B与C等价,所以,A与B也等价 。
- 求《好奇害死猫-2006》百度网盘免费在线观看,张一白导演的
- m是什么?
- 《帝国时代4》国家的崛起是什么?
- 蚩尤是我小弟的小说叫什么名
- oppo品牌是哪个国家的?
- 接盘侠是什么意思男女的?
- 朱熹的资料
- 独当一面的意思解释
- 的确良鱼是什么鱼
- 什么是金税系统?就是用来开票的么?